高校数学の深い話

発想を大事にしたい

必要十分条件

高校数学

何か記事書いてみたい→勉強のこと書くか

という感じで書いてみました。

必要十分条件あたりは、重要なのに結構わかってない人が多いと思われます。この記事ではその重要性を説明してみようと思います。

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[おさらい](必要十分条件あたりがわかっている人は飛ばしてください)

・命題

　真か偽か判定できる文

例)「三角形の内角の和は180度である。」→真

　「任意の実数a,bに対し、方程式ax+b=0の解はx = -(b/a)」→偽(a=0の時を考えると…)

・必要条件、十分条件

　Aという仮定の下にBが成り立つ時、

　「A ＝＞B」　と書いて、「AならばB」と読む。

　このとき、「AはBの十分条件」「BはAの必要条件」ということもできる。

　なお、「A => B」自体も命題であるため、主張は常に真である必要はない。

　Aが常に偽である時、Bの真偽にかかわらず「A => B」は真となる。

例) 「 $x = 3 \implies x^2+2x+3 = 18$ 」

　「２が奇数　=>　π = 3」(この命題は真)

・必要十分条件

　必要条件かつ十分条件であるものを必要十分条件といい、「A <=> B」と書く。

　この時、「AはBの必要十分条件」、「AとBは同値」という。

例)　直角三角形ABCに対して、「三平方の定理 <=> (sinA)^2+(cosA)^2 = 1」

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　さて、ここからが本題です。必要十分条件はなぜ重要なのでしょうか。

　結論から先に言うと、

　　1.あらゆる分野で登場する

　　2.同値でないと解が変わる

　この２点が理由となります。①については言わずもがなです。本題は②となります。

　2.について

　以下の方程式を解くことを考えてみましょう。

　　　 $x = \sqrt{x + 2} \dotsi ①$

これを、初学者がやりがちな解法で解いてみます。

　　①の両辺を２乗して、

　　　 $x^2 = x + 2 \dotsi ②$

　　②を整理して、

　　　 $x^2 - x - 2 = 0 \dotsi ③$

　　③の左辺を因数分解して、

　　　 $(x-2)(x+1)= 0 \dotsi ④$

　　④を解いて、

　　　 $x = 2,-1 \dotsi ⑤$

$x = 2,-1$ が得られましたが、これを①に代入すると、

　 $x = 2$ 　のとき、 $2 = 2$

　 $x = -1$ 　のとき、 $-1 = 1$

$x = -1$ 　を代入したとき等式が成り立っていないので間違いということになります。

なぜこのようになってしまうのでしょうか。（受験生の皆さんは当然わかっていますよね？）

それは、①〜⑤で同値関係が崩れてしまっているからです。

ではどこで同値関係が崩れているのかというと、①から②のところです。

両辺２乗するという行為は同値関係が崩れやすいので注意が必要なのです。　

これを解決するには、主に２つの方法があります。

　⑴同値変形する

　⑵十分性を確認する

⑴については、以下の同値関係を知っていればOKです。

　　実数 $x,y$ に対して、 $x = y \iff x^2 = y^2 かつxとyが同符号$

これを用いると、①から②への変形は以下のようになります。

　　 $x = \sqrt{x + 2}\dotsi ①$

　　①より、 $x^2 = x + 2$ かつ $x \geq 0\dotsi ②$

「 $x \geq 0$ 」としたのは、(①の右辺) $\geq$ 0　が確定しているからです(ルート記号があるから)。

ここから⑤まで変形すると、

　　 $x = 2,-1$ かつ $x \geq 0 \dotsi ⑤$

　　つまり、 $x = 2$ 　が得られ、これは正答となります。

⑵まず、①と⑤がどのような関係なのかを考えます。

①を次々変形して⑤を得ているので、① $\implies$ ⑤ が成り立っています。

つまり、「⑤は①の必要条件」です。

これが何を意味しているかというと、

「⑤は①の解を全て含んでいるが①の解でないものも入っているかもしれない」　

ということです。

よって、⑤を①に代入して確認すればすぐに解決します。

このように、最後の結論が最初の条件を満たしているかを確認することを、「十分性の確認」と言います。

⑴と⑵は両方必須テクニックなのでぜひ使えるようにしましょう。

　まとめ

　答えが問題の条件と同値かどうかをしっかり確認しよう

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・深い話(読まなくてもいい話)

　「 $x = y \iff x^2 = y^2 かつxとyが同符号$ 」

　　がありましたが、これは $x$ と $y$ が実数のときに適用されます。しかし、今回の問題

　　 $x = \sqrt{x + 2}\dotsi ①$

　　においては、 $x$ の値によっては右辺が純虚数となってしまいます。よって、この同値関係は適用できない！(あるいは場合分けをする必要がある)　となってしまうかもしれませんが、それは早計です。以下、①の右辺が純虚数になるような $x$ の範囲(つまり $x ＜ -2$ )で考えます。

　まず、実数と純虚数は別物なので等号が成り立つことはありません。よって、①が成り立つことはありません。そして、①の両辺を二乗すると、(実数) $^2$ → 負でない実数　(純虚数) $^2$ → 負の実数　であることから、二乗した後も等号が成り立つことはありません。よって、①の右辺が純虚数になってしまうような $x$ が、二乗した後の解に含まれてしまうことはありません。

　以上より、①において、右辺が純虚数になる $x$ について心配する必要はないです。